查看数据源：591279a0e020e700094b0ba2
抛物线 $y = 2{x^2} + 2ax + {a^2}$ 与直线 $y = x + 1$ 交于 $A$ 和 $B$ 两点，$|AB|$ 最大时，$a = $  ．
【难度】
【出处】
2005年复旦大学保送生招生测试
【标注】
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    直线与圆锥曲线
    >
    弦长公式
  • 题型
    >
    解析几何
    >
    圆锥曲线的弦长与面积问题
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    直线与圆锥曲线
    >
    联立及韦达定理
【答案】
$ - \dfrac{1}{2}$
【解析】
联立直线与抛物线方程，有$$2{x^2} + \left( {2a - 1} \right)x + {a^2} - 1 = 0,$$所以\[\begin{split}\Delta & = {\left( {2a - 1} \right)^2} - 8\left( {{a^2} - 1} \right) \\&= - 4{a^2} - 4a + 9 \\&= - {\left( {2a + 1} \right)^2} + 10,\end{split}\]所以$$\left| {AB} \right| = \sqrt 2 \cdot \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \sqrt 2 \cdot \dfrac{{\sqrt {10 - {{\left( {2a + 1} \right)}^2}} }}{2}.$$因此当 $a = - \dfrac{1}{2}$ 时，$\left| {AB} \right|$ 最大．
题目 答案 解析 备注
0.126326s