设数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 的前 $n$ 项和 ${S_n} = {2^n} - 1$，则 $\mathop {\lim }\limits_{n \to +\infty } \left( {\dfrac{1}{{{a_1}{a_2}}} + \dfrac{1}{{{a_2}{a_3}}} + \cdots + \dfrac{1}{{{a_n}{a_{n + 1}}}}} \right)$ 的值为 ．
【难度】
【出处】
2008年上海财经大学自主招生试题
【标注】
【答案】
$\dfrac{2}{3}$
【解析】
因为$$a_n=S_n-S_{n-1}=2^{n-1},$$所以$${\dfrac{1}{{{a_1}{a_2}}} + \dfrac{1}{{{a_2}{a_3}}} + \cdots + \dfrac{1}{{{a_n}{a_{n + 1}}}}}=\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{8} + \cdots + \dfrac{1}{2^{2n-1}}=\dfrac {2}{3}\left(1-\dfrac{1}{4^n}\right),$$故$$\mathop {\lim }\limits_{n \to +\infty } \left( {\dfrac{1}{{{a_1}{a_2}}} + \dfrac{1}{{{a_2}{a_3}}} + \cdots + \dfrac{1}{{{a_n}{a_{n + 1}}}}} \right)=\dfrac{2}{3}.$$
题目
答案
解析
备注
