数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 的通项公式为 ${a_n} = \dfrac{1}{{n\sqrt {n + 1} + (n + 1)\sqrt n }}$，则这个数列的前 $99$ 项之和 ${S_{99}} = $ ．
【难度】
【出处】
2008年上海交通大学冬令营选拔测试
【标注】
【答案】
$\dfrac{9}{{10}}$
【解析】
因为\[\begin{split}{a_n}& = \dfrac{{n\sqrt {n + 1} - \left( {n + 1} \right)\sqrt n }}{{{{\left( {n\sqrt {n + 1} } \right)}^2} - {{\left[ {\left( {n + 1} \right)\sqrt n } \right]}^2}}} \\&= \dfrac{{n\sqrt {n + 1} - \left( {n + 1} \right)\sqrt n }}{{{n^2}\left( {n + 1} \right) - n{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} \\&= \dfrac{1}{{\sqrt n }} - \dfrac{1}{{\sqrt {n + 1} }},\end{split}\]所以$${S_{99}} = 1 - \dfrac{1}{{10}} = \dfrac{9}{{10}}.$$
题目
答案
解析
备注
