甲、乙两厂生产同一种商品．甲厂生产的此商品占市场上的 $80\%$，乙厂生产的占 $20\%$；甲厂商品的合格率为 $95\%$，乙厂商品的合格率为 $90\%$．若某人购买了此商品发现为次品，则此次品为甲厂生产的概率为 ．
【难度】
【出处】
2008年上海交通大学冬令营选拔测试
【标注】
【答案】
$\dfrac{2}{3}$
【解析】
不妨设事件 $A$：商品为次品；事件 ${B_1}$：商品为甲厂生产；事件 ${B_2}$：商品为乙厂生产．由题意知$$P\left( {{B_1}} \right) = 0.8,P\left( {{B_2}} \right) = 0.2,P\left( {A \mid {{B_1}}} \right) = 0.05,P\left( {A \mid {{B_2}} } \right) = 0.1.$$由全概率公式\[\begin{split}P\left( {{B_1}\mid A } \right) &= \dfrac{{P\left( {A{B_1}} \right)}}{{P\left( A \right)}} \\&= \dfrac{{P\left( {{B_1}} \right)P\left( {A\mid {{B_1}} } \right)}}{{P\left( {{B_1}} \right)P\left( {A\mid {{B_1}} } \right) + P\left( {{B_2}} \right)P\left( {A\mid {{B_2}} } \right)}}\\& = \dfrac{{0.8 \cdot 0.05}}{{0.8 \cdot 0.05 + 0.2 \cdot 0.1}} = \dfrac{2}{3}.\end{split}\]于是此次品为甲厂生产的概率为 $\dfrac{2}{3}$．
题目
答案
解析
备注
