已知 $p$ 是实数，关于 $x$ 的方程 ${x^2} - px - \dfrac{1}{{2{p^2}}} = 0$ 的两根 ${x_1},{x_2}$ 满足 $x_1^4 + x_2^4 \leqslant 2 + \sqrt 2 $，则 $p$ 的值是 ．
【难度】
【出处】
2005年上海交通大学保送推优生考试
【标注】
【答案】
$ \pm 2^{-\frac 18}$
【解析】
根据题意，有\[\begin{split}x^4&=\left(px+\dfrac{1}{2p^2}\right)^2\\ &=p^2x^2+\dfrac xp+\dfrac{1}{4p^4} \\ &=p^2\left(px+\dfrac{1}{2p^2}\right)+\dfrac xp+\dfrac{1}{4p^2}\\ &=\left(p^3+\dfrac 1p\right)x+\dfrac 12+\dfrac{1}{4p^2},\end{split}\]于是\[x_1^4+x_2^4=\left(p^3+\dfrac 1p\right)(x_1+x_2)+1+\dfrac{1}{2p^4}=p^4+\dfrac{1}{2p^4}+2\geqslant \sqrt 2+2,\]等号当且仅当 $p^4=2^{-\frac 12}$ 时取得．因此 $p= \pm 2^{-\frac 18}$．
题目
答案
解析
备注
