${\sin ^8}x + {\cos ^8}x = \dfrac{{41}}{{128}}$，$x \in \left( {0,\dfrac{{\mathrm{\pi }}}{2}} \right)$，则 $x = $ ．
【难度】
【出处】
2005年上海交通大学保送推优生考试
【标注】
【答案】
$\dfrac{{\mathrm{\pi }}}{6}$ 或 $\dfrac{{\mathrm{\pi }}}{3}$
【解析】
设 $m = \sin x\cos x$，则$${\sin ^4}x + {\cos ^4}x = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x = 1 - 2{m^2},$$所以\[\begin{split}{\sin ^8}x + {\cos ^8}x &= {\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right)^2} - 2{\sin ^4}x{\cos ^4}x \\&= {\left( {1 - 2{m^2}} \right)^2} - 2{m^4}\\&= \dfrac{{41}}{{128}},\end{split}\]即$$2{m^4} - 4{m^2} + \dfrac{{87}}{{128}} = 0,$$解得 ${m^2} = \dfrac{3}{{16}}$，所以 $m = \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}$．因此 $x = \dfrac{{\mathrm{\pi }}}{6}$ 或 $x = \dfrac{{\mathrm{\pi }}}{3}$．
题目
答案
解析
备注
