情形一 $n$ 为偶数时，\[\begin{split}{2^2} - {4^2} + {6^2} - {8^2} + \cdots + {\left( { - 1} \right)^{n + 1}}{\left( {2n} \right)^2}& = - \left[ {2 \cdot 6 + 2 \cdot 14 + 2 \cdot 22 + \cdots + 2 \cdot \left( {4n - 2} \right)} \right]\\& = - \dfrac{{2 \cdot 6 + 2 \cdot \left( {4n - 2} \right)}}{2} \cdot \dfrac{n}{2}\\& = - 2n\left( {n + 1} \right),\end{split}\]情形二 $n$ 为奇数时，\[\begin{split}{2^2} - {4^2} + {6^2} - {8^2} + \cdots + {\left( { - 1} \right)^{n + 1}}{\left( {2n} \right)^2} &= {2^2} - {4^2} + {6^2} - {8^2} + \cdots + {\left[ {2\left( {n - 2} \right)} \right]^2} - {\left[ {2\left( {n - 1} \right)} \right]^2} + {\left( {2n} \right)^2}\\& = - 2n\left( {n - 1} \right) + 4{n^2}\\& = 2n\left( {n + 1} \right).\end{split}\]综上，原式的值为 ${\left( { - 1} \right)^{n + 1}}2n\left( {n + 1} \right)$．