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函数 $f\left( x \right){ = }{\log _2}\left( {1 + \dfrac{1}{x}} \right)\left( {x > 0} \right)$ 的反函数 ${f^{ - 1}}\left( x \right){ = }$  \((\qquad)\)
A: $\dfrac{1}{{{2^x} - 1}}\left( {x > 0} \right)$
B: $\dfrac{1}{{{2^x} - 1}}\left( {x \ne 0} \right)$
C: ${2^x} - 1\left( {x \in {\mathbb{R}}} \right)$
D: ${2^x} - 1\left( {x > 0} \right)$
【难度】
【出处】
2013年高考大纲卷（理）
【标注】
  • 知识点
    >
    函数
    >
    反函数
【答案】
A
【解析】
本题考查反函数的求法，将原函数中的 $x,y$ 互换，并用 $x$ 表示 $y$ 即可，注意原函数的值域就是反函数的定义域．由 $y=\log_2\left(1+\dfrac 1x\right)$ 得 $x=\dfrac {1}{2^y-1}$，所以\[f^{-1}\left(x\right)=\dfrac {1}{2^x-1}.\]当 $x>0$ 时，$y>0$，所以反函数的定义域为 $\left(0,+\infty\right)$．
题目 答案 解析 备注
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