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已知双曲线 $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$（$a > 0$，$b > 0$）右焦点为 $F$，右准线 $l$ 与两条渐近线分别交于 $P$、$Q$ 两点．若 $\triangle PQF$ 是直角三角形，则双曲线的离心率 ${{e}} = $  ．
【难度】
【出处】
2009年华南理工大学自主招生保送生选拔考试
【标注】
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    双曲线
    >
    双曲线的几何量
    >
    双曲线的基本量
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    双曲线
    >
    双曲线的定义
    >
    双曲线的焦准定义
【答案】
$\sqrt 2 $
【解析】
由对称性知，$\triangle PQF$ 是等腰直角三角形，设 $PQ$ 与 $x$ 轴交于 $H$，则 $PH = HF$．$P$ 点的纵坐标为$$\dfrac{b}{a} \cdot \dfrac{{{a^2}}}{c} = \dfrac{{ab}}{c},$$也是 $PH$ 的长，而$$HF = c - \dfrac{{{a^2}}}{c} = \dfrac{{{b^2}}}{c},$$由 $PH = HF$ 可得 $a = b$，因此双曲线的离心率为 $\sqrt 2 $．
题目 答案 解析 备注
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