对于A，B，D，可以直接从函数性质的本质出发，进行验证即可，对于C，统一函数名，构造函数进行判断即可．A项，因为\[\begin{split}f\left( {2{\mathrm \pi} - x} \right) &= \cos \left( {2{\mathrm \pi} - x} \right)\sin \left( {4{\mathrm \pi} - 2x} \right) \\&= \cos \left( { - x} \right)\sin \left( { - 2x} \right) \\&= - \cos x\sin 2x \\&= - f\left( x \right),\end{split}\]（推导中用到：）所以 $y = f\left( x \right)$ 的图象关于点 $\left( {{\mathrm \pi} ,0} \right)$ 中心对称，故正确．
B项，因为\[\begin{split}f\left( {{\mathrm \pi} - x} \right) &= \cos \left( {{\mathrm \pi} - x} \right)\sin \left( {2{\mathrm \pi} - 2x} \right) \\&= \cos x\sin 2x \\&= f\left( x \right),\end{split}\]（推导中用到：）所以 $y = f\left( x \right)$ 的图象关于直线 $x = \dfrac{\mathrm \pi} {2}$ 对称，故正确．
C项，\[\begin{split} f\left( x \right) &= \cos x\sin 2x \\ &\overset{\left[a\right]} = 2\sin x{\cos ^2}x \\ & \overset{\left[b\right]}= 2\sin x\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) \\ & = - 2{\sin ^3}x + 2\sin x,\end{split} \]（推导中用到：[a][b]）令 $\sin x = t$，则 $t \in \left[ { - 1,1} \right]$，
$f\left( x \right)$ 的最大值问题转化为求 $h\left( t \right) = - 2{t^3} + 2t$ 在 $t \in \left[ { - 1,1} \right]$ 上的最大值．\[h'\left( t \right) = - 6{t^2} + 2,\]令 $h'\left( t \right) = 0$，得 $t = - \dfrac{\sqrt 3 }{3}$ 或 $\dfrac{\sqrt 3 }{3}$，经计算比较得最大值为 $h\left( {\dfrac{\sqrt 3 }{3}} \right) = \dfrac{4\sqrt 3 }{9}$，故错误．
D项，由\[\begin{split} f\left( { - x} \right) &= \cos \left( { - x} \right)\sin \left( { - 2x} \right) \\ & = - \cos x\sin 2x \\ & = - f\left( x \right),\end{split} \]（推导中用到：）知其为奇函数；
对于任意的 $ x $，都有 $ f\left(x+2k{\mathrm \pi} \right)=f\left(x\right) $ $ \left(k\in {\mathbb{Z}}\right) $，所以 $ f\left(x\right) $ 是以 $ 2{\mathrm \pi} $ 为周期的周期函数，故正确．