本题考查向量的数量积公式及充分必要条件的判断．将 $\left| {\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|$ 等价变形为 $|\cos\theta|=1$ 是解决这个题的关键．根据向量的数量积可知 $\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b=\left|\overrightarrow a\right|\left|\overrightarrow b\right|\cos \theta$（$\theta$ 为 $\overrightarrow a,\overrightarrow b$ 夹角）．
若 $\left| {\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|$，则 $\left|\cos \theta\right|=1$，于是 $\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$ 同向或反向，所以 $\overrightarrow a\parallel \overrightarrow b$．所以" $\left| {\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|$ "是" $\overrightarrow a \parallel \overrightarrow b $ "的充分条件．
若 $ \overrightarrow a\parallel \overrightarrow b$，则 $\overrightarrow a$ 和 $\overrightarrow b$ 同向或反向，于是 $\theta=0$ 或 ${\mathrm \pi} $，$\cos \theta=\pm 1$，此时 $\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b=\pm \left|\overrightarrow a\right|\left|\overrightarrow b\right|$，于是 $\left| {\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|$．所以 " $\left| {\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|$ "是" $\overrightarrow a \parallel \overrightarrow b $ "的必要条件．
综上，" $\left| {\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|$ "是" $\overrightarrow a \parallel \overrightarrow b $ "的充分必要条件．