设集合 $\left\{\dfrac 3a+b\left|\right.1 \leqslant a \leqslant b \leqslant 2\right\}$ 中的最大元素与最小元素分别为 $M$，$m$，则 $M-m$ 的值为 ．
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛（一试）
【标注】
【答案】
$5-2\sqrt 3$
【解析】
由 $1 \leqslant a \leqslant b \leqslant 2$ 知，$$\dfrac 3a+b \leqslant \dfrac 31+2=5,$$当 $a=1$，$b=2$ 时，得最大元素 $M=5$．
又$$\dfrac 3a+b \geqslant \dfrac 3a+a \geqslant 2\sqrt {\dfrac 3a \cdot a}=2\sqrt 3,$$当 $a= b=\sqrt 3$ 时，得最小元素 $m=2\sqrt 3$．
因此，$M-m=5-2\sqrt 3$．
又$$\dfrac 3a+b \geqslant \dfrac 3a+a \geqslant 2\sqrt {\dfrac 3a \cdot a}=2\sqrt 3,$$当 $a= b=\sqrt 3$ 时，得最小元素 $m=2\sqrt 3$．
因此，$M-m=5-2\sqrt 3$．
题目
答案
解析
备注
