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如图，点 $A,B,C$ 在一条直线上，$\triangle ABD$，$\triangle BCE$ 均为等边三角形，连接 $AE$ 和 $CD$，$AE$ 分别交 $CD,BD$ 于点 $M,P$，$CD$ 交 $BE$ 于点 $Q$，连接 $PQ,BM$．下列结论：
① $\triangle ABE\cong \triangle DBC$；
② $ \angle DMA=60^\circ $；
③ $\triangle BPQ$ 为等边三角形；
④ $MB$ 平分 $\angle AMC$．
其中结论正确的有 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 题型
    >
    几何部分
    >
    几何模型
    >
    共顶点模型
【答案】
①②③④
【解析】
因为 $\triangle ABD,\triangle BCE$ 均为等边三角形，
所以 $AB=BD $，$BC=BE$．
因为 $A,B,C$ 在一条直线上，
所以 $\angle ABE=\angle DBC=120^\circ$，
所以 $\triangle ABE\cong \triangle DBC$，即 ① 正确．
所以 $\angle BAE=\angle BDC$，$\angle AEB=\angle BCD$，
所以 $\angle DMA=\angle DCB+\angle BAE=60^\circ$，即 ② 正确．
因为 $\angle QDB=\angle PAB$，$DB=AB$，$\angle DBQ=\angle ABP=60^\circ$，
所以 $\triangle DQB\cong \triangle APB$，
所以 $BQ=BP$，
所以 $\triangle BPQ$ 为等边三角形，即 ③ 正确．
因为 $\angle AMC=60^\circ$，
所以 $\angle PMQ+\angle PBQ=180^\circ$，
所以 $P,B,Q,M$ 四点共圆．
因为 $BP=BQ$，
所以 $\overparen {BP}=\overparen{BQ}$，
所以 $\angle PMB=\angle QMB$，
所以 $MB$ 平分 $\angle AMC$，即 ④ 正确．
题目 答案 解析 备注
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