如图，四边形 $ABCD$ 中，$AD\parallel BC$，$\angle BCD=90^\circ$，$AB=BC+AD$，$\angle DAC=45^\circ$，$E$ 为 $CD$ 上一点，且 $\angle BAE=45^\circ$，若 $CD=4$，则 $\triangle ABE$ 的面积为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{50}7$
【解析】
过点 $A$ 作 $BC$ 的垂线，交 $CB$ 的延长线于点 $F$．
由 $\angle DAC=45^\circ$，$\angle ADC=90^\circ$，可得 $AD=CD$．
所以四边形 $ADCF$ 为正方形，
从而 $AF=FC=4$．
令 $BC=m$，则 $AB=4+m$，$BF=4-m$．
在 $\mathrm{Rt}\triangle AFB$ 中，有 $16+(4-m)^2=(4+m)^2$，解得 $m=1$．
所以 $AB=5$，$BF=3$．
将 $\triangle ADE$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $90^\circ$ 至 $\triangle AFG$．
易证 $\triangle AGB\cong \triangle AEB$．
令 $DE=n$，则 $CE=4-n$，$BE=BG=3+n$．
在 $\mathrm{Rt}\triangle BCE$ 中，有 $1+(4-n)^2=(3+n)^2$，解得 $n=\dfrac 47$．
所以 $BG=\dfrac{25}7$．
从而 $S_{\triangle ABE}=S_{\triangle ABG}=\dfrac 12 AF\cdot BG=\dfrac{50}7$．
由 $\angle DAC=45^\circ$，$\angle ADC=90^\circ$，可得 $AD=CD$．所以四边形 $ADCF$ 为正方形，
从而 $AF=FC=4$．
令 $BC=m$，则 $AB=4+m$，$BF=4-m$．
在 $\mathrm{Rt}\triangle AFB$ 中，有 $16+(4-m)^2=(4+m)^2$，解得 $m=1$．
所以 $AB=5$，$BF=3$．
将 $\triangle ADE$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $90^\circ$ 至 $\triangle AFG$．
易证 $\triangle AGB\cong \triangle AEB$．令 $DE=n$，则 $CE=4-n$，$BE=BG=3+n$．
在 $\mathrm{Rt}\triangle BCE$ 中，有 $1+(4-n)^2=(3+n)^2$，解得 $n=\dfrac 47$．
所以 $BG=\dfrac{25}7$．
从而 $S_{\triangle ABE}=S_{\triangle ABG}=\dfrac 12 AF\cdot BG=\dfrac{50}7$．
题目
答案
解析
备注
