已知 $\begin{cases}x \geqslant 1, \\ x - y \leqslant 0, \\ {x^2} + {y^2} - 2x - 6y + 6 \leqslant 0,\end{cases}$ 则 $x + 2y$ 的最大值为 ．
【难度】
【出处】
2009年华南理工大学自主招生保送生选拔考试
【标注】
【答案】
$7 + 2\sqrt 5 $
【解析】
${x^2} + {y^2} - 2x - 6y + 6 \leqslant 0 $ 即为$${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} \leqslant 4,$$因此可行域如下图：
圆心 $\left( {1,3} \right)$ 到直线 $x + 2y = 0$ 的距离为 $\dfrac{7}{{\sqrt 5 }}$，所以圆上的点离 $x + 2y = 0$ 的最大距离为 $2 + \dfrac{7}{{\sqrt 5 }}$，因此 $x + 2y$ 的最大值为$$\sqrt 5 \cdot \left( {2 + \dfrac{7}{{\sqrt 5 }}} \right) = 7 + 2\sqrt 5 .$$
圆心 $\left( {1,3} \right)$ 到直线 $x + 2y = 0$ 的距离为 $\dfrac{7}{{\sqrt 5 }}$，所以圆上的点离 $x + 2y = 0$ 的最大距离为 $2 + \dfrac{7}{{\sqrt 5 }}$，因此 $x + 2y$ 的最大值为$$\sqrt 5 \cdot \left( {2 + \dfrac{7}{{\sqrt 5 }}} \right) = 7 + 2\sqrt 5 .$$
题目
答案
解析
备注
