如图，矩形 $ABCD$ 中，$AD = a$，$AB = b$，过 $A$、$C$ 作相距为 $h$ 的平行线 $AE$、$CF$，则 $AF = $ ．
【难度】
【出处】
2006年上海交通大学推优保送生考试
【标注】
【答案】
$\begin{cases}
\dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{2a}} , h = b ,\\
\dfrac{{a{h^2} - bh\sqrt {{a^2} + {b^2} - {h^2}} }}{{{h^2} - {b^2}}} , h \ne b .\\
\end{cases}$
\dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{2a}} , h = b ,\\
\dfrac{{a{h^2} - bh\sqrt {{a^2} + {b^2} - {h^2}} }}{{{h^2} - {b^2}}} , h \ne b .\\
\end{cases}$
【解析】
设 $AF = x$，则 $FD = a - x$．
用两种方式计算平行四边形 $AECF$ 的面积，有$$bx = \sqrt {{b^2} + {{\left( {a - x} \right)}^2}} \cdot h,$$即$$\left( {{h^2} - {b^2}} \right){x^2} - 2a{h^2}x + \left( {{a^2} + {b^2}} \right){h^2} = 0.$$于是当 $h = b$ 时，$$x = \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{2a}};$$当 $h \ne b$ 时，$$x = \dfrac{{a{h^2} - bh\sqrt {{a^2} + {b^2} - {h^2}} }}{{{h^2} - {b^2}}}.$$
用两种方式计算平行四边形 $AECF$ 的面积，有$$bx = \sqrt {{b^2} + {{\left( {a - x} \right)}^2}} \cdot h,$$即$$\left( {{h^2} - {b^2}} \right){x^2} - 2a{h^2}x + \left( {{a^2} + {b^2}} \right){h^2} = 0.$$于是当 $h = b$ 时，$$x = \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{2a}};$$当 $h \ne b$ 时，$$x = \dfrac{{a{h^2} - bh\sqrt {{a^2} + {b^2} - {h^2}} }}{{{h^2} - {b^2}}}.$$
题目
答案
解析
备注
