在地面距离塔基分别为 $100{\rm m}$，$200\rm m$，$300\rm m$ 的 $A$，$B$，$C$ 处测得塔顶的仰角分别为 $\alpha $，$\beta $，$\gamma $，且 $\alpha + \beta + \gamma = 90^\circ $，则塔高为 ．
【难度】
【出处】
2006年上海交通大学推优保送生考试
【标注】
【答案】
$100{\mathrm{m}}$
【解析】
设塔高为 $x$，则$$\begin{cases}\tan \alpha=\dfrac {x}{100},\\ \tan \beta=\dfrac {x}{200},\\ \tan \gamma=\dfrac {x}{300},\end{cases}$$所以$$\tan (\alpha+\beta)=\dfrac {\tan \alpha+\tan \beta}{1-\tan \alpha\cdot \tan \beta}=\dfrac {300x}{20000-x^2},$$因为 $\alpha + \beta + \gamma = 90^\circ $，所以$$\tan \gamma=\cot(\alpha+\beta),$$解得 $x=100$．
题目
答案
解析
备注
