已知不等式组 $\begin{cases}
{x^2} + \sqrt 2 ax + 5 \geqslant \dfrac{1}{3} ,\\
{x^2} + \sqrt 2 ax + 5 \leqslant \dfrac{7}{2} \\
\end{cases}$ 有唯一解，则 $a =$ ．
{x^2} + \sqrt 2 ax + 5 \geqslant \dfrac{1}{3} ,\\
{x^2} + \sqrt 2 ax + 5 \leqslant \dfrac{7}{2} \\
\end{cases}$ 有唯一解，则 $a =$
【难度】
【出处】
2009年上海交通大学自主招生保送生测试数学试题
【标注】
【答案】
$ \pm \sqrt 3 $
【解析】
因为抛物线 $y=x^2+\sqrt 2ax+5$ 开口向上，且不等式组$$\begin{cases}
{x^2} + \sqrt 2 ax + 5 \geqslant \dfrac{1}{3} ,\\
{x^2} + \sqrt 2 ax + 5 \leqslant \dfrac{7}{2} \\
\end{cases}$$有唯一解，所以抛物线顶点处的纵坐标为 $\dfrac 72$，即$$\left(-\dfrac {\sqrt 2}{2}a\right)^2+\sqrt 2a\cdot \left(-\dfrac {\sqrt 2}{2}a\right)+5=\dfrac 72,$$解得 $a=\pm \sqrt 3$．
{x^2} + \sqrt 2 ax + 5 \geqslant \dfrac{1}{3} ,\\
{x^2} + \sqrt 2 ax + 5 \leqslant \dfrac{7}{2} \\
\end{cases}$$有唯一解，所以抛物线顶点处的纵坐标为 $\dfrac 72$，即$$\left(-\dfrac {\sqrt 2}{2}a\right)^2+\sqrt 2a\cdot \left(-\dfrac {\sqrt 2}{2}a\right)+5=\dfrac 72,$$解得 $a=\pm \sqrt 3$．
题目
答案
解析
备注
