求导\[\begin{split}\left( {\dfrac{8}{{\sin \theta }} + \dfrac{1}{{\cos \theta }}} \right)^\prime &= \dfrac{{ - 8\cos \theta }}{{{{\sin }^2}\theta }} + \dfrac{{\sin \theta }}{{{{\cos }^2}\theta }}\\& = \dfrac{{{{\sin }^3}\theta - 8{{\cos }^3}\theta }}{{{{\sin }^2}\theta {{\cos }^2}\theta }}\\& = \dfrac{{\left( {\sin \theta - 2\cos \theta } \right)\left( {{{\sin }^2}\theta + 2\sin \theta \cos \theta + 4{{\cos }^2}\theta } \right)}}{{{{\sin }^2}\theta {{\cos }^2}\theta }}\\& = \dfrac{{\left( {\sin \theta - 2\cos \theta } \right)\left( {1 + \sin 2\theta + 3{{\cos }^2}\theta } \right)}}{{{{\sin }^2}\theta {{\cos }^2}\theta }},\end{split}\]于是当 $\sin \theta = 2\cos \theta $ 时，$\dfrac{8}{{\sin \theta }} + \dfrac{1}{{\cos \theta }}$ 取得最小值．此时 $\sin \theta = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}$，$\cos \theta = \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}$，且$$\dfrac{8}{{\sin \theta }} + \dfrac{1}{{\cos \theta }} = 5\sqrt 5 .$$