在正方体 $8$ 个顶点中任取 $4$ 个顺次连接得到三棱锥，则所得三棱锥中至少有三个面都是直角三角形的概率为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{28}{29}$
【解析】
先考虑在正方体 $8$ 个顶点中任取 $4$ 个顺次连接得到三棱锥的个数．
情形一 在一个面中有三棱锥的 $3$ 个顶点，这样的三棱锥个数为$$6\cdot {\rm C}_4^3\cdot {\rm C}_4^1=96.$$情形二 在一个面中有三棱锥的 $2$ 个顶点，这样的三棱锥个数为$$3\cdot (2\cdot 5+4\cdot 4)=78.$$三个面均不是直角三角形的情形只能是连接两条相对面的非平行面对角线所形成的正四面体，共 $6$ 种可能．
因此所得三棱锥中至少有三个面都是直角三角形的概率为$$1-\dfrac {6}{96+78}=\dfrac {28}{29}.$$
因此所得三棱锥中至少有三个面都是直角三角形的概率为$$1-\dfrac {6}{96+78}=\dfrac {28}{29}.$$
题目
答案
解析
备注
