设函数 $f(x)=\begin{cases}x+1 ,&x \leqslant 0,\\2^x, &x>0.\end{cases}$ 则满足 $f(x)+f\left(x-\dfrac 12\right)>1$ 的 $x$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left(-\dfrac 14,+\infty\right)$
【解析】
函数 $f(x)$ 是 $\mathbb R$ 上的单调递增函数，所以 $f(x)+f\left(x-\dfrac 12\right)$ 也是增函数，考虑方程\[f(x)+f\left(x-\dfrac 12\right)=1\]的解即可．
当 $x>0$ 时，$x-\dfrac 12>-1$，从而有 $f(x)>1$，$f\left(x-\dfrac 12\right)>0$，因此方程\[f(x)+f\left(x-\dfrac 12\right)=1\]在 $(0,+\infty)$ 上无解．当 $x\leqslant 0$ 时，方程即\[x+1+x+\dfrac 12=1,\]解得 $x=-\dfrac 14$，于是题中不等式的解集为 $\left(-\dfrac 14,+\infty\right)$．
当 $x>0$ 时，$x-\dfrac 12>-1$，从而有 $f(x)>1$，$f\left(x-\dfrac 12\right)>0$，因此方程\[f(x)+f\left(x-\dfrac 12\right)=1\]在 $(0,+\infty)$ 上无解．当 $x\leqslant 0$ 时，方程即\[x+1+x+\dfrac 12=1,\]解得 $x=-\dfrac 14$，于是题中不等式的解集为 $\left(-\dfrac 14,+\infty\right)$．
题目
答案
解析
备注
