设 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb R$ 上且周期为 $1$ 的函数，在区间 $[0,1)$ 上，$f(x)=\begin{cases} x^2,&x\in D,\\ x,& x\notin D,\end{cases}$ 其中集合 $D=\left\{x \mid x=\dfrac{n-1}{n},n\in\mathbb N^*\right\}$，则方程 $f(x)-\lg x=0$ 的解的个数是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$8$
【解析】
先证明引理：$10^{\frac pq}\ne k-\dfrac 1n$，其中 $p,q\in\mathbb N^*$ 且 $(p,q)=1$，$k,n\in\mathbb N^*$．否则\[10^p=\left(\dfrac {nk-1}n\right)^q,\]左边是整数，而右边不是整数，矛盾．
原方程即\[f(x)-\lg(x+k)=0,\]其中 $k\in\mathbb Z$，$x\in [0,1)$．该方程即\[k=10^{f(x)}-x.\]根据引理，当 $x\in D$ 时，该方程有唯一解 $x=0$（此时 $k=1$）；当 $x\notin D$ 时，由于函数 $y=10^x-x$ 在 $(0,1)$ 上单调递增，因此根据引理，当 $k=2,3,4,5,6,7,8$ 时，该方程均有唯一解．
综上所述，题中方程的解的个数为 $8$．
原方程即\[f(x)-\lg(x+k)=0,\]其中 $k\in\mathbb Z$，$x\in [0,1)$．该方程即\[k=10^{f(x)}-x.\]根据引理，当 $x\in D$ 时，该方程有唯一解 $x=0$（此时 $k=1$）；当 $x\notin D$ 时，由于函数 $y=10^x-x$ 在 $(0,1)$ 上单调递增，因此根据引理，当 $k=2,3,4,5,6,7,8$ 时，该方程均有唯一解．
综上所述，题中方程的解的个数为 $8$．
题目
答案
解析
备注
