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在平面直角坐标系 $xOy$ 中，双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$）的右支与焦点为 $F$ 的抛物线 $x^2=2py$（$p>0$）交于 $A,B$ 两点．若 $|AF|+|BF|=4|OF|$，则该双曲线的渐近线方程为 ．
【难度】
【出处】
2017年高考山东卷（理）
【标注】
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    直线与圆锥曲线
    >
    联立及韦达定理
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    抛物线
    >
    抛物线的几何量
    >
    抛物线的基本量与几何性质
  • 题型
    >
    解析几何
【答案】
$y=\pm \dfrac{\sqrt 2}2x$
【解析】
联立双曲线与抛物线的方程消去 $x$ 得$$\dfrac 1{b^2}y^2-\dfrac {2p}{a^2}y+1=0,$$设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，则有$$y_1+y_2=\dfrac {2pb^2}{a^2}.$$由抛物线的定义知$$|AF|+|BF|=y_1+\dfrac p2+y_2+\dfrac p2=\dfrac {2pb^2}{a^2}+p=4\cdot\dfrac p2,$$所以 $a^2=2b^2$，从而双曲线的渐近线方程为 $y=\pm\dfrac {\sqrt 2}2x$．
题目 答案 解析 备注
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