若 $a_n=2n-1,b_n=(-1)^{n-1}\dfrac{4n}{a_na_{n+1}} $，则数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n= $ ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$1-\dfrac {(-1)^n}{2n+1}$
【解析】
根据题意，有$$b_n=(-1)^{n-1}\dfrac{4n}{a_na_{n+1}}=2\cdot(-1)^{n-1}\cdot\left(\dfrac{n}{2n-1}-\dfrac{n}{2n+1} \right), $$若 $n=2k,k\in \mathbb{N}^{*} $，则$$T_n=2\left(1-\dfrac{1}{3}-\dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{5}+\dfrac{3}{5}-\dfrac{3}{7}-\dfrac{4}{7}+\dfrac{4}{9}+\cdots-\dfrac{n}{2n-1}+\dfrac{n}{2n+1} \right)=\dfrac{2n}{2n+1}.$$若 $n=2k-1,k\in \mathbb{N}^{*} $，则$$T_n=2\left(1-\dfrac{1}{3}-\dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{5}+\dfrac{3}{5}-\dfrac{3}{7}-\dfrac{4}{7}+\dfrac{4}{9}+\cdots+\dfrac{n}{2n-1}-\dfrac{n}{2n+1} \right)=\dfrac{2n+2}{2n+1}.$$
题目
答案
解析
备注
