令$$f(x)=3\sqrt{1+2x^2}+2\sqrt{40+9(1-x)^2},$$其中 $x\in [0,1]$，则$$f(x)=3\sqrt{2x^2+1}+2\sqrt{9x^2-18x+49},$$其导函数\[
f'(x)=6\cdot\dfrac{x\sqrt{9x^2-18x+49}+(3x-3)\sqrt{2x^2+1}}{\sqrt{\left(2x^2+1\right)\left(9x^2-18x+49\right)}}.
\]注意到$$x\sqrt{9x^2-18x+49}+(3x-3)\sqrt{2x^2+1}=0,$$即$$9x^4-18x^3-22x^2-18x+9=0,$$即$$9x^2+\dfrac 9{x^2}-18\left(x+\dfrac 1x\right)-22=0,$$也即$$9\left(x+\dfrac 1x\right)^2-18\left(x+\dfrac 1x\right)-40=0,$$解得 $x+\dfrac 1x=\dfrac{10}3$，即 $x=\dfrac 13$．进而可得函数 $f(x)$ 在 $\left[0,\dfrac 13\right)$ 上单调递减，在 $x=\dfrac 13$ 处取得最小值，在 $\left(\dfrac 13,1\right]$ 上单调递增．
进而当 $(a,b)=\left(\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{3}\right)$ 时，原式取到最小值 $5\sqrt{11}$；当且仅当 $(a,b)=(1,0)$ 时，原式取到最大值 $3\sqrt{3}+4\sqrt{10}$．