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已知点 $O\left( {0,0} \right),A\left( {0,b} \right),B\left( {a,a^3} \right)$．若 $\triangle OAB $ 为直角三角形，则必有 \((\qquad)\)
A: $b = {a^3}$
B: $b = {a^3}+\dfrac 1 a $
C: $\left(b - {a^3}\right)\left(b - {a^3}-\dfrac 1 a \right)=0$
D: $ \left|b - {a^3} \right|+ \left|b - {a^3}-\dfrac 1 a \right|=0$
【难度】
【出处】
2013年高考辽宁卷（文）
【标注】
  • 知识点
    >
    向量
    >
    向量的运算
    >
    向量的数量积
【答案】
C
【解析】
按直角顶点的位置分类讨论即可．因为 $\triangle OAB $ 为直角三角形，所以\[a\ne 0且b\ne 0.\]（1）若 $O$ 是直角顶点，则有 $\overrightarrow {OA}\cdot \overrightarrow {OB}=0$，可得\[ba^3=0.\]此时不成立；（2）若 $A$ 是直角顶点，则有 $\overrightarrow {AO}\cdot \overrightarrow {AB}=0$，可得\[b\left(a^3-b\right)=0.\]即\[a^3-b=0.\]（3）若 $B$ 是直角顶点，则有 $\overrightarrow {BA}\cdot \overrightarrow {BO}=0$，可解得\[a^3\left(a^3-b+\dfrac 1a\right)=0.\]即\[a^3-b+\dfrac 1a=0.\]综上，应使得 $a^3-b=0$ 或 $a^3-b+\dfrac 1a=0$，即\[\left(b - {a^3}\right)\left(b - {a^3}-\dfrac 1 a \right)=0.\]
题目 答案 解析 备注
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