已知函数 $g(x)=x^2+bx+c$ 在区间 $(0,1)$ 上有两个不等实根，则 $c^2+(1+b)c$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left(0,\dfrac 1{16}\right)$
【解析】
不难发现$$c^2+(1+b)c=g(c)=g(0)\cdot g(1),$$仔细思考后采用后面的变形方式．显然 $g(0)\cdot g(1) > 0$，且可以无限趋近于 $0$；另一方面，设$$g(x)=(x-x_1)(x-x_2),$$其中 $x_1,x_2\in (0,1)$ 且 $x_1\neq x_2$，则有$$g(0)\cdot g(1)=x_1\cdot x_2 \cdot (1-x_1)\cdot (1-x_2)\leqslant \left[\dfrac{x_1+(1-x_1)}2\right]^2\cdot \left[\dfrac{x_2+(1-x_2)}2\right]^2=\dfrac{1}{16},$$且 $g(0)\cdot g(1)$ 可以无限趋近于 $\dfrac 1{16}$．
题目
答案
解析
备注
