题目 已知 $n$ 次多项式函数 $f(x)$ 满足 $f(k)=\dfrac{k}{k+1}$（$k=0,1,2,\cdots,n$），则 $f(n+1)=$ <nn> </nn>． 答案 $\dfrac{n+1+(-1)^{n+1}}{n+2}$ 解析 根据题意，有$$(x+1)f(x)=x+g(x),$$其中 $\deg g=n+1$，且 $g(0)=g(1)=g(2)=\cdots =g(n)=0$，且 $-1+g(-1)=0$．于是$$g(x)=\dfrac{1}{(-1)^{n+1}\cdot (n+1)!}\cdot x(x-1)(x-2)\cdots (x-n),$$因此$$f(n+1)=\dfrac{n+1+g(n+1)}{n+2}=\dfrac{n+1+(-1)^{n+1}}{n+2}.$$ 备注