已知 $a,b>0$，且 $\dfrac 1a+\dfrac 1b=1$，则 $\dfrac{2+b}{2ab}$ 的最大值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{9}{16}$
【解析】
令 $x=\dfrac 1a$，$y=\dfrac 1b$，则 $x,y>0$，$x+y=1$，且$$\dfrac{2+b}{2ab}=\dfrac{2+\dfrac 1y}{2}\cdot xy=x\left(y+\dfrac 12\right)\leqslant \left(\dfrac{x+y+\dfrac 12}{2}\right)^2\leqslant \dfrac{9}{16},$$等号当 $x=\dfrac 34$，$y=\dfrac 14$ 时取得．于是所求的最大值为 $\dfrac{9}{16}$．
题目
答案
解析
备注
