设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿 $x$ 轴跳动，每次向正方向或负方向跳 $1$ 个单位，若经过 $5$ 次跳动质点落在点 $(3,0)$ 处（允许重复过此点），则质点不同的运动方法共有 种（用数字作答）；若经过 $m$ 次跳动质点落在点 $(n,0)$ 处（允许重复过此点），其中 $m\geqslant n$，且 $m-n$ 为偶数，则质点不同的运动方法共有 种．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$5,\mathrm{C}_m^{\frac{m+n}{2}}$
【解析】
经过 $5$ 次跳动质点落在点 $(3,0)$ 处，于是往正方向跳了 $4$ 步，往负方向跳了 $1$ 步，容易得到不同的运动方法有 $5$ 种．
类似的考虑经过 $m$ 次跳动质点落在点 $(n,0)$ 处的问题．
设往正方向跳了 $x$ 步，往负方向跳了 $y$ 步，则$$x-y=n,x+y=m.$$于是$$x=\dfrac{m+n}{2},$$因此质点不同的运动方法共有 $\mathrm{C}_{m}^{\frac{m+n}{2}}$ 种．
类似的考虑经过 $m$ 次跳动质点落在点 $(n,0)$ 处的问题．
设往正方向跳了 $x$ 步，往负方向跳了 $y$ 步，则$$x-y=n,x+y=m.$$于是$$x=\dfrac{m+n}{2},$$因此质点不同的运动方法共有 $\mathrm{C}_{m}^{\frac{m+n}{2}}$ 种．
题目
答案
解析
备注
