设不等式组 $\begin{cases}x>0,\\y>0,\\y\leqslant-nx+4n\end{cases}(n\in\mathbb N^*)$ 所表示的平面区域 $D_n$ 的整点个数为 $a_n$，则 $\dfrac{1}{2010}(a_2+a_4+\cdots+a_{2010})=$ ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$3018$
【解析】
注意到直线 $y=-nx+4n$ 过点 $(4,0)$，于是将 $D_n$ 内的整点按横坐标为 $1,2,3$ 分为 $3$ 类．
于是 $a_n$ 等于纵坐标在区间 $[1,3n]$ 内的整点个数加上纵坐标在区间 $[1,2n]$ 内的整点个数加上纵坐标在区间 $[1,n]$ 内的整点个数等于 $6n$．
因此$$\dfrac{1}{2010}(a_2+a_4+\cdots+a_{2010})=\dfrac{1}{2010}\cdot\dfrac{a_2+a_{2010}}{2}\cdot\dfrac{2010}{2}=3018.$$
于是 $a_n$ 等于纵坐标在区间 $[1,3n]$ 内的整点个数加上纵坐标在区间 $[1,2n]$ 内的整点个数加上纵坐标在区间 $[1,n]$ 内的整点个数等于 $6n$．
因此$$\dfrac{1}{2010}(a_2+a_4+\cdots+a_{2010})=\dfrac{1}{2010}\cdot\dfrac{a_2+a_{2010}}{2}\cdot\dfrac{2010}{2}=3018.$$
题目
答案
解析
备注
