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设 $A,B$ 是双曲线的两个焦点，$C$ 在双曲线上．已知 $\triangle{ABC}$ 的三边长成等差数列，且 $\angle{ACB}=120^{\circ}$，则该双曲线的离心率为 ．
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛天津市预赛
【标注】
  • 知识点
    >
    三角
    >
    解三角形
    >
    余弦定理
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    双曲线
    >
    双曲线的几何量
    >
    双曲线的基本量
【答案】
$\dfrac 72$
【解析】
依题意，不妨设$$|AC|+|AB|=2|BC|,$$又有$$|AC|^2+|BC|^2-|AB|^2=2|AC|\cdot|BC|\cdot \cos{120^{\circ}},$$由此可知$$|AC|:|AB|:|BC|=3:7:5.$$因此双曲线的离心率为$$e=\dfrac ca=\dfrac{AB}{AC-BC}=\dfrac 72.$$
题目 答案 解析 备注
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