函数 $f(x)$ 的定义域为 $(0,+\infty)$，且满足 $f(x)-2xf\left(\dfrac 1x\right)+3x^2=0$，则 $f(x)$ 的最小值是 ．
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛天津市预赛
【标注】
【答案】
$3$
【解析】
由$$f(x)-2xf\left(\dfrac 1x\right)+3x^2=0$$可得$$f\left(\dfrac 1x\right)-\dfrac 2x f(x)+\dfrac 3{x^2}=0.$$联立这两式解得$$f(x)=x^2+\dfrac 2x.$$由均值不等式$$x^2+\dfrac 2x =x^2+\dfrac 1x+\dfrac 1x\geqslant 3\left(x^2\cdot \dfrac 1x \cdot \dfrac 1x\right)^{\frac 13}=3.$$当且仅当 $x=1$ 时等号成立，因此 $f(x)$ 的最小值为 $3$．
题目
答案
解析
备注
