已知三棱柱 $ABC - {A_1}{B_1}{C_1}$ 的侧棱与底面垂直，体积为 $\dfrac{9}{4}$，底面是边长为 $\sqrt 3 $ 的正三角形，若 $P$ 为底面 ${A_1}{B_1}{C_1}$ 的中心，则 $PA$ 与平面 $ABC$ 所成角的大小为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2013年高考山东卷（理）
【标注】
【答案】
B
【解析】
本题考查的是线面角，由线面角的定义将 $PA$ 平面的夹角作出来，然后借助于直角三角形，求得角．设 $P$ 在底面 $ABC$ 上的射影是 $Q$，$M$ 为 $B_1C_1$ 的中点，如图所示：
正三棱柱的体积$V=S_{\triangle A_1B_1C_1}\cdot AA_1=\dfrac{3\sqrt 3}{4}AA_1=\dfrac{9}{4}$，故 $AA_1=\sqrt 3$．因为 $P$ 为底面 $A_1B_1C_1$ 的中心，所以 $A_1P=\dfrac{2}{3}A_1M=1$．$PA$ 与平面 $ABC$ 所成角为 $\angle PAQ$，在 $\mathrm{Rt}\triangle APQ$ 中，$AQ=A_1P=1$，$PQ=AA_1=\sqrt 3$，所以 $ \tan \angle PAQ=\sqrt 3 $，故 $PA$ 与平面 $ABC$ 所成角为 $ \dfrac{\mathrm \pi} 3 $．
正三棱柱的体积$V=S_{\triangle A_1B_1C_1}\cdot AA_1=\dfrac{3\sqrt 3}{4}AA_1=\dfrac{9}{4}$，故 $AA_1=\sqrt 3$．因为 $P$ 为底面 $A_1B_1C_1$ 的中心，所以 $A_1P=\dfrac{2}{3}A_1M=1$．$PA$ 与平面 $ABC$ 所成角为 $\angle PAQ$，在 $\mathrm{Rt}\triangle APQ$ 中，$AQ=A_1P=1$，$PQ=AA_1=\sqrt 3$，所以 $ \tan \angle PAQ=\sqrt 3 $，故 $PA$ 与平面 $ABC$ 所成角为 $ \dfrac{\mathrm \pi} 3 $．
题目
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