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已知 $\alpha \in \mathbb R$，如果集合 $\{\sin \alpha,\cos {2\alpha}\}=\{\cos \alpha,\sin{2\alpha}\}$，则所有符合要求的角 $\alpha$ 构成的集合为 ．
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛湖北省预赛
【标注】
  • 知识点
    >
    函数
    >
    集合与映射
    >
    集合与集合的关系
  • 知识点
    >
    三角
    >
    三角恒等变换
    >
    二倍角公式
【答案】
$\{\alpha\mid \alpha=2k\pi,k\in \mathbb Z\}$
【解析】
情形一若 $\sin\alpha=\cos\alpha$ 且 $\cos 2\alpha=\sin 2\alpha$，则\[\sqrt 2\sin\left(\alpha-\dfrac{\pi}4\right)=\sqrt 2\sin\left(2\alpha-\dfrac{\pi}4\right)=0,\]无解．
情形二若 $\sin\alpha=\sin 2\alpha$ 且 $\cos2\alpha = \cos \alpha$，则\[\sin\alpha\left(2\cos\alpha-1\right)=\left(2\cos\alpha+1\right)\left(\cos\alpha-1\right)=0,\]解得 $\alpha=2k\pi,k\in\mathbb Z$．
题目 答案 解析 备注
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