过点 $\left( {3,1} \right)$ 作圆 ${\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = 1$ 的两条切线，切点分别为 $A$，$B$，则直线 $AB$ 的方程为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2013年高考山东卷（理）
【标注】
【答案】
A
【解析】
过圆外一点 $(x_0,y_0)$ 作圆 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ 的切线，两个切点所在的直线方程为 $(x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2$．设切点 $A\left(x_A,y_A\right)$，$B\left(x_B,y_B\right)$，则过圆上点 $A$，$B$ 的切线方程分别是 $\left(x_A-1\right)\left(x-1\right)+y_Ay=1$，$\left(x_B-1\right)\left(x-1\right)+y_By=1$，又 $\left(3,1\right)$ 既在过 $A$ 的圆的切线上，又在过 $B$ 的圆的切线上，故 $\left(x_A-1\right)\left(3-1\right)+y_A\cdot 1=1$，$\left(x_B-1\right)\left(3-1\right)+y_B\cdot 1=1$，两点确定一条直线，所以 $A$，$B$ 所在的直线方程为 $\left(x-1\right)\left(3-1\right)+ y\cdot 1=1$，即 $2x+y-3=0$．
题目
答案
解析
备注
