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抛物线 ${C_1}:y = \dfrac{1}{2p}{x^2}\left(p > 0\right)$ 的焦点与双曲线 ${C_2}:\dfrac{x^2}{3} - {y^2} = 1$ 的右焦点的连线交 ${C_1}$ 于第一象限的点 $M$．若 ${C_1}$ 在点 $M$ 处的切线平行于 ${C_2}$ 的一条渐近线，则 $p = $  \((\qquad)\)
A: $\dfrac{\sqrt 3 }{16}$
B: $\dfrac{\sqrt 3 }{8}$
C: $\dfrac{2\sqrt 3 }{3}$
D: $\dfrac{4\sqrt 3 }{3}$
【难度】
【出处】
2013年高考山东卷（文）
【标注】
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    双曲线
    >
    双曲线的几何量
    >
    双曲线的基本量
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    抛物线
    >
    抛物线的几何量
    >
    抛物线的基本量与几何性质
【答案】
D
【解析】
本题是双曲线与抛物线的基本量的综合考查，关键条件 ① 是 $M$ 在焦点的连线上；② $M$ 在抛物线上；③ $M$ 处的切线与 $C_2$ 的渐近线平行．分别表达三个条件，即可解决问题．由题可知，双曲线右焦点为 $ F\left(2,0\right) $，渐近线方程为 $ y=\pm \dfrac {\sqrt 3}{3} x$；抛物线焦点为 $ F'\left(0,\dfrac p2\right) $．故直线 $FF'$ 的方程为 $y=-\dfrac{p}{4}\left(x-2\right)$．设 $ M\left(x_0,y_0\right)$，因为 $y'=\dfrac xp $，所以由导数的几何意义可知，抛物线在 $M$ 处的切线斜率为 $ y'|_{x=x_0} =\dfrac {x_0}{p}$，且 $\dfrac {x_0}{p}=\dfrac {\sqrt 3}{3}$，于是 $x_0=\dfrac{\sqrt 3 p}{3}$，$y_0=\dfrac{p}{6}$．因为 $M$ 在直线 $FF'$ 上，故将 $M$ 坐标带入直线方程，解得 $p=\dfrac{4\sqrt 3}{3}$．
题目 答案 解析 备注
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