设正实数 $x,y,z$ 满足 ${x^2} - 3xy + 4{y^2} - z = 0$，则当 $\dfrac{xy}{z}$ 取得最大值时，$\dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{y} - \dfrac{2}{z}$ 的最大值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2013年高考山东卷（理）
【标注】
【答案】
B
【解析】
分析条件，式子中有三个变量，含有一个或两个变量求代数式的最值作题过程中经常遇到，故而可以通过等式关系尝试用其它两个来表示其中一个变量，从而解决问题．应用均值不等式时，要写出“等号”成立的条件．因为 $x,y,z$ 都是正实数，所以 $\dfrac{xy}{z}=\dfrac{xy}{x^2-3xy+4y^2}=\dfrac{1}{\dfrac x y+\dfrac{4y}{x}-3}\leqslant \dfrac{1}{2\sqrt 4 -3}=1$，当且仅当 $x=2y$ 时取到等号，此时 $z=2y^2$．有 $\dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{y} - \dfrac{2}{z}=\dfrac 2 y-\dfrac{1}{y^2}=-\left(\dfrac 1 y-1\right)^2+1 \leqslant 1$．
题目
答案
解析
备注
