已知正整数的各位数字都不为零且其和为 $7$，则所有这些正整数的位数中出现 $3$ 的次数为 ．
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛甘肃省预赛
【标注】
【答案】
$28$
【解析】
只需计算每种情况下 $3$ 出现的次数即可．
满足条件的正整数中出现两个 $3$ 的数有 $3$ 个，$3$ 共出现 $6$ 次；
满足条件的正整数中出现一个 $3$ 的五位数有 $5$ 个，$3$ 共出现 $5$ 次；
满足条件的正整数中出现一个 $3$ 的四位数有 ${\rm C}_4^2\cdot 2!=12$ 个，$3$ 共出现 $12$ 次；
满足条件的正整数中出现一个 $3$ 的三位数有 $3$ 个，$3$ 共出现 $3$ 次；
满足条件的正整数中出现一个 $3$ 的两位数有 $2$ 个，$3$ 共出现 $2$ 次．
综上所述，$3$ 共出现了 $6+5+12+3+2=28$ 次．
满足条件的正整数中出现两个 $3$ 的数有 $3$ 个，$3$ 共出现 $6$ 次；
满足条件的正整数中出现一个 $3$ 的五位数有 $5$ 个，$3$ 共出现 $5$ 次；
满足条件的正整数中出现一个 $3$ 的四位数有 ${\rm C}_4^2\cdot 2!=12$ 个，$3$ 共出现 $12$ 次；
满足条件的正整数中出现一个 $3$ 的三位数有 $3$ 个，$3$ 共出现 $3$ 次；
满足条件的正整数中出现一个 $3$ 的两位数有 $2$ 个，$3$ 共出现 $2$ 次．
综上所述，$3$ 共出现了 $6+5+12+3+2=28$ 次．
题目
答案
解析
备注
