对任意正整数 $n$，定义函数 $\mu(n)$ 如下：$\mu(1)=1$，且当 $n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_t^{\alpha_t}\geqslant2$ 时，$$\mu(n)=\begin{cases}(-1)^t,&\alpha_1=\alpha_2=\cdots=\alpha_t=1,\\0,&(\alpha_1-1)^2+(\alpha_2-1)^2+\cdots+(\alpha_t-1)^2\ne0\end{cases}$$其中 $t\geqslant1$，$p_1,p_2,\cdots,p_t$ 是不同的质数．若记 $A=\{x_1,x_2,\cdots,x_k\}$ 为 $12$ 的全部不同正因数的集合，则 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{k}{\mu(x_i)}=$ ．
【难度】
【出处】
2015年全国高中数学联赛四川省预赛
【标注】
【答案】
$0$
【解析】
根据题意，若 $A=\{x_1,x_2,\cdots,x_m\}$ 是 $p_1^{k_1}p_2^{k_2}\cdots p_n^{k_n}$ 的全部不同正因数的集合，其中 $p_1,p_2,\cdots,p_n$ 是不同的质数，$k_1,k_2,\cdots,k_n\in\mathbb N^*$，则对应的\[\sum_{i=1}^{m}\mu(x_i)=1+(-1)^1{\rm C}_n^1+(-1)^2{\rm C}_n^2+\cdots (-1)^n{\rm C}_n^n=0.\]
题目
答案
解析
备注
