已知实数 $a,b,c$ 满足 $a^2+b^2+c^2=1$，则 $ab+bc+ac$ 的取值范围为 ．
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛河北省预赛
【标注】
【答案】
$\left[-\dfrac 12,1\right]$
【解析】
显然有$$ab+bc+ac\leqslant a^2+b^2+c^2=1,$$当且仅当 $a=b=c=\dfrac 13$ 时等式取等号．
另一方面，有\[\begin{split}ab+bc+ac&=a(b+c)+bc\\&\geqslant -\dfrac{a^2+(b+c)^2}{2}+bc \\&=-\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2}\\&=-\dfrac 12.\end{split}\]仅当 $a+b+c=0$ 且 $a^2+b^2+c^2=1$ 时取" $=$ "．
易知 $ab+bc+ac$ 的取值是连续的，故取值范围为 $\left[-\dfrac 12,1\right]$．
另一方面，有\[\begin{split}ab+bc+ac&=a(b+c)+bc\\&\geqslant -\dfrac{a^2+(b+c)^2}{2}+bc \\&=-\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2}\\&=-\dfrac 12.\end{split}\]仅当 $a+b+c=0$ 且 $a^2+b^2+c^2=1$ 时取" $=$ "．
易知 $ab+bc+ac$ 的取值是连续的，故取值范围为 $\left[-\dfrac 12,1\right]$．
题目
答案
解析
备注
