由\[\begin{split}a_{n+2}-a_{n+1}&=(n+2)a_{n+1}-(n+2)a_n\\&=(n+2)(a_{n+1}-a_n)\\&=\cdots \\&=(n+2)(n+1)n\cdots 4\cdot 3\cdot (a_2-a_1)\\&=(n+2)!,\end{split}\]故当 $n\geqslant 1$ 时，有\[\begin{split}a_n&=a_1+(a_2-a_1)+(a_3-a_2)+\cdots +(a_n-a_{n-1})\\&=1!+2!+\cdots +n!.\end{split}\]由 $a_1=1$，$a_2=3$，$a_3=9$，$a_4=33$，$a_5=153$，此时 $153$ 能被 $9$ 整除．
当 $m>5$ 时，有$$\displaystyle a_m=a_5+\sum \limits_{k=6}^{m}{k!},$$而 $k\geqslant 6$ 时，$k!$ 能被 $9$ 整除，于是当 $m\geqslant 6$ 时，$a_m$ 能被 $9$ 整除．
综上知，$n$ 的最小值是 $5$．