函数 $f(x)=\dfrac x{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}+\dfrac{x+2}{x+3}+\cdots +\dfrac{x+2010}{x+2011}$ 的图象的对称中心为 ．
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛河北省预赛
【标注】
【答案】
$(-1006,2011)$
【解析】
\[\begin{split}f(x)&=\dfrac x{x+1}+\dfrac{x+1}{x+2}+\dfrac{x+2}{x+3}+\cdots +\dfrac{x+2010}{x+2011}\\&=2011-\left(\dfrac 1{x+1}+\dfrac 1{x+2}+\dfrac 1{x+3}+\cdots +\dfrac 1{x+2011}\right),\end{split}\]记$$g(x)=\dfrac 1{x+1}+\dfrac 1{x+2}+\dfrac 1{x+3}+\cdots +\dfrac 1{x+2011},$$则$$g(x-1006)=\dfrac 1{x-1005}+\dfrac 1{x-1004}+\dfrac 1{x-1003}+\cdots +\dfrac 1{x+1005}$$为奇函数．
所以 $g(x)$ 的图象关于 $(-1006,0)$ 对称，则 $f(x)$ 的图象关于 $(-1006,2011)$ 点对称．
所以 $g(x)$ 的图象关于 $(-1006,0)$ 对称，则 $f(x)$ 的图象关于 $(-1006,2011)$ 点对称．
题目
答案
解析
备注
