如图，双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a,b>0$）的右顶点为 $A$，左右焦点分别为 $F_1,F_2$，点 $P$ 是双曲线右支上一点，$PF_1$ 交左支于点 $Q$，交渐近线 $y=\dfrac bax$ 于点 $R$，$M$ 是 $PQ$ 的中点，若 $RF_2\perp PF_1$，且 $AM\perp PF_1$，则双曲线的离心率为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$2$
【解析】
题中条件为一个中点加两组垂直，其中 $F_2R\perp RF_1$ 通过直角三角形的斜边中线转化为 $OR=\dfrac 12F_1F_2=c$，其中 $c$ 为双曲线的半焦距．又由于 $R$ 在渐近线上，于是 $R$ 的坐标为 $(a,b)$．接下来的关键是如何恰当的表达中点，这就用到了双曲线的“垂径定理”．
直线 $PF_1$ 的斜率为 $\dfrac{b}{a+c}$，设 $M(m,n)$，则$$\begin{cases} \dfrac nm\cdot \dfrac{b}{a+c}=\dfrac{b^2}{a^2},\\ \dfrac{n}{m-a}\cdot\dfrac{b}{a+c}=-1,\\ \dfrac{n}{m+c}=\dfrac{b}{a+c},\end{cases} $$其中第一个方程来源于双曲线的“垂径定理”．
第一个式子与第二个式子相除，可得$$\dfrac{m-a}{m}=-\dfrac{b^2}{a^2},$$即$$m=\dfrac{a^3}{c^2}.$$第一个式子与第三个式子相除，可得$$\dfrac{m+c}{m}\cdot\dfrac{b}{a+c}=\dfrac{b^2}{a^2}\cdot\dfrac{a+c}b,$$将 $m=\dfrac{a^3}{c^2}$ 代入，并整理可得$$e^2-e-2=0,$$于是 $e=2$，其中 $e=\dfrac ca$ 为双曲线的离心率．
直线 $PF_1$ 的斜率为 $\dfrac{b}{a+c}$，设 $M(m,n)$，则$$\begin{cases} \dfrac nm\cdot \dfrac{b}{a+c}=\dfrac{b^2}{a^2},\\ \dfrac{n}{m-a}\cdot\dfrac{b}{a+c}=-1,\\ \dfrac{n}{m+c}=\dfrac{b}{a+c},\end{cases} $$其中第一个方程来源于双曲线的“垂径定理”．
第一个式子与第二个式子相除，可得$$\dfrac{m-a}{m}=-\dfrac{b^2}{a^2},$$即$$m=\dfrac{a^3}{c^2}.$$第一个式子与第三个式子相除，可得$$\dfrac{m+c}{m}\cdot\dfrac{b}{a+c}=\dfrac{b^2}{a^2}\cdot\dfrac{a+c}b,$$将 $m=\dfrac{a^3}{c^2}$ 代入，并整理可得$$e^2-e-2=0,$$于是 $e=2$，其中 $e=\dfrac ca$ 为双曲线的离心率．
题目
答案
解析
备注
