已知等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，若存在 $p,q\in\mathbb N^*$ 且 $p\ne q$，使得 $S_p=q$ 且 $S_q=p$，则 $S_{p+q}=$ ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$-p-q$
【解析】
根据等差数列前 $n$ 项和形式上的特点，可设$$S_n=An^2+Bn,$$其中 $n\in\mathbb N^*$．于是由$$S_p+p=S_q+q=p+q$$可得 $n=p$ 和 $n=q$ 是关于 $n$ 的方程$$An^2+(B+1)n=p+q$$的两个实根，设 $f(x)=Ax^2+(B+1)x$，则其对称轴为 $x=\dfrac{p+q}2$，因此$$f(p+q)=f(0)=0,$$因此$$S_{p+q}+(p+q)=0,$$从而 $S_{p+q}=-p-q$．
题目
答案
解析
备注
