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欲将正六边形的各边和各条对角线都染为 $n$ 种颜色之一，使得以正六边形的任何 $3$ 个顶点作为顶点的三角形有 $3$ 种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的 $3$ 色组合，则 $n$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 题型
    >
    组合数学
    >
    组合极值
【答案】
$7$
【解析】
 证当 $n=6$ 时，由于共有 $15$ 条边，于是必然存在某种颜色 $A$ 染了 $3$ 条边．此时某边染了颜色 $A$ 的三角形个数为$$3 \times 4 = 12.$$而其他颜色组合只有$${\rm{C}}_5^2 = 10$$种组合，必然存在相同的 $3$ 色组合，矛盾．
构造当 $n=7$ 时，如图，用 $6$ 种颜色分别染 $A_iA_{i+1}$（$i=1,2,3,4,5,6$），以及 $A_iA_{i+2}$（$i=1,2,3,4,5,6$），其中 $A_7=A_1$，$A_8=A_2$，剩下的 $3$ 条对角线染第 $7$ 种颜色，则满足要求．
题目 答案 解析 备注
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