已知函数 $f(x)=\begin{cases} -1,x\leqslant -1,\\x,-1<x<1,\\1,x \geqslant 1,\end{cases} $ 函数 $g(x)=ax^2-x+1$．若函数 $y=f(x)-g(x)$ 恰好有 $2$ 个不同零点，则实数 $a$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$(-\infty ,0)\cup (0,1)$
【解析】
问题即方程$$a=\begin{cases} \dfrac 1x-\dfrac 2{x^2},x\leqslant -1,\\\dfrac 2x-\dfrac 1{x^2},-1<x<0
\lor 0<x<1,\\\dfrac 1x,x\geqslant 1,\end{cases}$$即$$g(t)=\begin{cases} t-2t^2,-1\leqslant t<0,\\2t-t^2,t<-1\lor t>1,\\t,0<t\leqslant 1,\end{cases} $$有两根，其中 $t=\dfrac 1x$，换元后的方程的根的个数与换元前的方程的根的个数是一致的．
如图．
考虑函数 $y=g(t)$ 与直线 $y=a$ 的交点个数，于是 $a$ 的取值范围是 $a<1$ 且 $ a\neq 0$．
\lor 0<x<1,\\\dfrac 1x,x\geqslant 1,\end{cases}$$即$$g(t)=\begin{cases} t-2t^2,-1\leqslant t<0,\\2t-t^2,t<-1\lor t>1,\\t,0<t\leqslant 1,\end{cases} $$有两根，其中 $t=\dfrac 1x$，换元后的方程的根的个数与换元前的方程的根的个数是一致的．
如图．
考虑函数 $y=g(t)$ 与直线 $y=a$ 的交点个数，于是 $a$ 的取值范围是 $a<1$ 且 $ a\neq 0$．
题目
答案
解析
备注
