考虑函数 $h(x)=g(x)-f(x)$，即$$h(x)=\begin{cases} ax^2-x+2,x\leqslant -1,\\ ax^2-2x+1,-1<x<1,\\ ax^2-x,x\geqslant 1,\end{cases} $$对于第一段$$h_1(x)=ax^2-x+2(x\leqslant -1),$$考虑到其在 $x=-1$ 处的函数值为$$h_1(-1)=a+3,$$因此以 $a=-3,0$ 为分界点展开讨论．
情形一 当 $a<-3$ 时，考虑到 $h(-1)<0$，函数图象开口向下，对称轴为 $x=\dfrac{1}{2a}$，而 $-1<\dfrac{1}{2a}$，因此函数在 $(-\infty,-1]$ 上没有零点．
情形二 当 $a=-3$ 时，考虑到 $h(-1)=0$，函数图象开口向下，对称轴为 $x=-\dfrac 16$，因此函数在 $(-\infty,-1]$ 上有 $1$ 个零点．
情形三 当 $-3<a<0$ 时，考虑到 $h(-1)>0$，函数图象开口向下，因此函数在 $(-\infty,-1]$ 上有 $1$ 个零点．
情形四 当 $a=0$ 时，函数 $h_1(x)=-x+2$，因此函数在 $(-\infty,-1]$ 上有 $1$ 个零点．
情形五 当 $a>0$ 时，考虑到 $h(-1)>0$，函数图象开口向上，对称轴为 $x=\dfrac{1}{2a}$，而 $-1<\dfrac{1}{2a}$，因此函数在 $(-\infty,-1]$ 上没有零点．
类似的，可以对第二段和第三段展开讨论．
最终确定 $a$ 的取值范围是 $a<1$ 且 $ a\neq 0$．