对所求代数式进行变形得\[\begin{split} \dfrac{\sqrt{2x^3+7x^2+6x}}{x^2+4x+3}=&\dfrac{\sqrt{2x(x^2+4x+3)-x^2}}{x^2+4x+3}\\=&\sqrt{\dfrac {2x}{x^2+4x+3}-\left(\dfrac {x}{x^2+4x+3}\right)^2},\end{split} \]于是令 $t=\dfrac{x}{x^2+4x+3}$，则所求代数式为$$\sqrt{2t-t^2}=\sqrt{1-(t-1)^2}.$$当 $x=0$ 时，$t=0$；当 $x\ne 0$ 时，有$$t=\dfrac {1}{x+\dfrac 3x+4}\leqslant \dfrac {1}{2\sqrt 3+4}=\dfrac {2-\sqrt 3}{2},$$综上知 $t\in\left[0,\dfrac {2-\sqrt 3}{2}\right]$，当 $t=\dfrac {2-\sqrt 3}{2}$ 时，所求代数式有最大值 $\dfrac 12$，此时 $x=\sqrt 3$．