如图，过圆 $C:(x-1)^2+(y-1)^2=1$ 的圆心，作直线分别交 $x,y$ 正半轴于点 $A,B$，$\triangle{AOB}$ 被圆分成四部分，若这四部分图形面积满足 $S_{\rm{I}}+S_{\text{Ⅳ}}=S_{\text{Ⅱ}}+S_{\rm{III}}$，则这样的直线 $AB$ 有 条．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$1$
【解析】
容易发现 $S_{\rm{II}}$ 和 $S_{\rm{IV}}$ 是定值，所以 $S_{\rm{III}}-S_{\rm{I}}=S_{\rm {IV}}-S_{\rm {II}}$．如图，作直线关于 $y=x$ 对称的直线，从而作出 $S_{\rm{III}}-S_{\rm{I}}$．容易发现随着直线 $AB$ 斜率的减小，$S_{\rm{III}}-S_{\rm{I}}$ 递增．因此，这样的直线 $AB$ 只有 $1$ 条．
题目
答案
解析
备注
